Родился в городе Ростов-на-Дону, Российская Империя. Отец - известный ростовский адвокат Иван Иосифович Плят, по происхождению «поляк, правда сильно обрусевший». Мать - Зинаида Ивановна Закаменная - украинка, родом из Полтавы. Когда родился Ростислав, мать была уже больна туберкулезом лёгких и поэтому семья переехала в Кисловодск, в более мягкий климат. Но через 8 лет мать умерла и в 1916 году они вернулись в Москву. Через несколько лет отец женился во второй раз, у Ростислава появился сводный брат. У отца успешно развивалась адвокатская деятельность. Среди его клиентов были и работники театров, актёры, режиссёры. Так юный Ростислав познакомился с театральной средой, а далее увлёкся театром настолько серьезно, что стал ходить на спектакли не просто как зритель, но и для анализа игры актёров, развития постановочных решений спектаклей. Был очень увлечён МХАТом, системой Станиславского. Когда пришёл срок получать паспорт, при записи своих данных изменил их на более благозвучные (как ему казалось): с Ростислав Иванович Плят на Ростислав Янович Плятт. В 1926 году окончил Московскую школу-девятилетку МОНО №9 им. Т. Эдисона, где драмкружком руководил В. Ф. Лебедев, известный артист Малого театра. В этом же году поступил в драматическую студию Моспрофобра под руководством Ю.А. Завадского, год спустя реорганизованную в Театр-студию, где играл до 1936 года. В 1936 году вместе с театром переехал в Ростов-на-Дону, где работал в Театре драмы имени Горького. После возвращения в Москву в 1938-1941 годах - актёр Театра имени Ленинского комсомола. С началом войны из Москвы никуда не уехал. Этот период описал в своих мемуарах «Без эпилога»: трудности и постоянные бомбежки. Когда звучала сирена «воздушная тревога», спешил на радиостудию, где работал в это время. Однажды, попав в бомбёжку, чудом уцелел от разорвавшегося рядом снаряда, но на всю жизнь получил травму ноги. Постепенно оставшиеся в Москве актёры разных театров сплотились и создали Московский театр драмы (ныне Московский академический театр имени Владимира Маяковского). В нём ставили пьесы К.М. Симонова. В этих военных фронтовых пьесах впервые проявил себя как мастер психологической игры. В 1943 году перешёл в Театр имени Моссовета, где прослужил до конца своих дней. В кинематографе начал свою работу в 1939 году. Одна из первых ролей - холостяк в фильме «Подкидыш». Популярность актёра была основана не только на ряде сценических и экранных работ, но и на человеческих качествах артиста, ставшего воплощением интеллигентности. Создал много запоминающихся работ на радио, участвовал в дубляже фильмов, озвучивании мультфильмов. Я.Г. Турылёва в своём интервью вспоминала, что многому научилась, работая с ним. Выступал в концертах, на юбилейных и творческих вечерах, встречах со зрителями. В 1970-е годы на телевидении был подготовлен цикл передач о Бернарде Шоу («Театр Бернарда Шоу»), в котором Б. Шоу (Р. Плятт) беседовал с Литературоведом (А. Аникст). Творчество актёра отличают интеллектуализм, дар внутреннего перевоплощения, ироничность, глубокое обаяние