Андрей Подошьян родился 4 декабря 1958 года в Москве. Начал сниматься в кино в середине 1970-х годов. Первой актерской работой была главная роль Принца в фильме-сказке «Принцесса на горошине» (1976) по Г. Х. Андерсену. В 1977 году поступил в Театральный институт имени Бориса Щукина на факультет «Актёр театра и кино» (худ. руководитель курса Леонид Владимирович Калиновский). В 1980 году по приглашению Олега Николаевича Ефремова перешёл к нему на актёрско-режиссёрский курс в Школу—студию МХАТ им. Вл. И. Немировича-Данченко при МХАТ им. А. П. Чехова. Окончил её в 1982 году. С 1982 по 1984 год служил в рядах Советской армии. После возвращения из армии продолжил съемки в кино.