Действието в "Нормално сърце" се развива в началото на 80-те години, когато Ню Йорк е превърнат в епицентър на смъртоносна епидемия, породена от все още не толкова познатата болест СПИН. В основата на сюжета е писателя-активист Нед Уийкс, който задно с група съмишленици се опитва да помогне на болните от СПИН и да ограничи по-нататъшното разпространение на смъртоносната болест.